Gemeinsame Tangenten
zweier Kreise
Hier: Gleich lange Sehnen
Neuere Entdeckungen und Vermutungen
(Die Abbildungen dürfen kopiert werden, aber ohne Veränderungen.)
1.) In der ersten Abbildung sind Kreispaare zu sehen,
einmal mit den inneren und einmal mit den äußeren Tangenten.
(Manchmal werden sie auch "interne und externe Tangenten" bezeichnet.)
Verbindet man, wie gezeigt,
die gegenüber-liegenden Berührungspunkte miteinander,
dann haben die Sehnen die gleiche Länge.
Diese Beziehung wurde in Jahr 2003 von Markus Heiss (oder: Heisss) entdeckt.
2.) Die äußeren Tangenten mit Formeln:
Die Formel für die Länge der zwei Sehnen lautet:
... oder als: s1 = s2 = 4*R*r/d*((((d - R + r)(d + R - r))/(d*d + 4*R*r))^(1/2))
Weitere Formeln:
Einen kurzen Beweis in englischer Sprache findet man hier:
https://gogeometry.blogspot.com/2018/08/geometry-problem-1379-common-external.html
3.) Und jetzt die inneren Tangenten mit Formeln:
Die Formel für die Länge der zwei Sehnen lautet:
... oder als: s3 = s4 = 4*R*r/d*((((d + R + r)(d - R - r))/(d*d - 4*R*r))^(1/2))
Weitere Formeln:
Einen kurzen Beweis in englischer Sprache findet man hier:
https://gogeometry.blogspot.com/2018/08/geometry-problem-1380-common-internal.html
[Ergänzung:]
******
4.) Ein weiteres Phänomen ist in der nächsten Abbildung dargestellt:
Vermutung:
Verbindet man die neu entstandenen Schnittpunkte der Geraden
mit den Kreisen wieder überkreuz miteinander,
so erhält man vier weitere Sehnen, die alle die gleiche Länge besitzen.
Und dieses Spiel kann man endlos fortsetzen!
Des Weiteren überschneiden sich die Sehnen,
und die Teilstrecken der Sehnen haben ebenfalls die gleichen Längen.
---> Strecken mit derselben Farbe in der Zeichnung besitzen die gleichen Längen.
[Dies funktioniert auch bei zwei zueinander ähnlichen Ellipsen
mit gemeinsamer Symmetrie-Achse.]
5.) Lässt man die Figur mit den inneren (oder äußeren) Tangenten rotieren,
dann schneiden die Sehnen Teile der Kugeln ab, die an "Apfelschalen" erinnern.
Diese Apfelschalen besitzen dieselben Volumina.
Vorsicht ist geboten, wenn die Sehnen die Rotationsachse überschneiden!
... Dies ist die Formel für die Volumina mit den inneren Tangenten.
... Und das ist die Formel für die Volumina mit den äußeren Tangenten.
6.) Und die letzte Abbildung:
Vermutung:
Die Abbildung von 4.) kann man ebenfalls rotieren lassen
und man erhält Fragmente von Kugeln, die auch dieselben Volumina besitzen.
7.) Das gesamte geometrische Phänomen
wurde im Jahr 2003 von Markus Heiss (oder: Heisss) entdeckt
und teilweise im Jahr 2005 in der Zeitschrift „Die Wurzel“ veröffentlicht.
Ich hoffe, es hat Ihnen gefallen,
Referenzen:
1.) Magazin: "Die Wurzel - Zeitschrift für Mathematik", Dez. 2005, S. 267 ==> www.wurzel.org
2.) Website: ==> https://markus-heisss.jimdofree.com/geometrie-handskizzen/